Есть спец проги которыми можно сохранять файлы, а есть способ "напрямую", вот он:
открываете страничку с видео, жмете кнопку плей и затем паузу, при этом видео начинает загружаться к вам на комп во временную папку. Ждете пока загрузится все видео (на ютубе загруженное показывается зеленой полосой). Теперь нужно найти этот самый временный файл куда загрузилось видео. Идете в папку где хранятся все временные файлы браузера. У ИЕ это можно посмотреть в меню Сервис-->Свойства обозревателя-->общие-->Временные файлы интернета-->кнопка "параметры" там будет указан путь к папке. ВНИМАНИЕ: Эта папка обычно имеет атрибут "скрытая", Вам нужно включить показ скрытых файлов.
Заходите в эту папку и видете много других папок с непонятными названиями
в одной из них и лежит загруженное видео
Я делаю так: сортирую файлы по размеру и ищу видео. Потом переписываю себе, переименовываю как надо и всё